Diskussion:Geometrische Folge

Mathematische Formulierung

Ich habe den Teil der Namensherkunft in ein separates Kapitel verschoben. Wenn nichts dagegen spricht würde ich den folgenden Teil aus dem Kapitel "Mathematische Formulierung" entfernen (außer jemand interveniert und meint, dass der Teil unerlässlich für das Kapitel ist): Sind a_0 und q positive reelle Zahlen, so ist jedes Glied a_i mit i>0 das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder a_{i-1} und a_{i+1}. Diese Tatsache ist der Grund für die Bezeichnung „geometrische Folge“. Die Summe der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe. (nicht signierter Beitrag von Ricky23289 (Diskussion | Beiträge) 20:56, 23. Dez. 2014 (CET))

Ich hab das jetzt – ohne hier auf die Diskussionsseite zu schauen – schon gemacht. Danke -- HilberTraum (d, m) 21:36, 23. Dez. 2014 (CET)

(erledigt) Sichtung

Geprüfte Version: Der Benutzer Stefanwege ist sich sicher, dass der Artikel in der Version vom 5. Apr 2005, 23:32 Uhr keine inhaltlichen Fehler enthält.

(erledigt) Vermeintlicher Fehler

Ich wollte nur bescheid geben, dass der Satz: 'Sind a0 und q positive reelle Zahlen, so ist jedes Glied ai mit i > 0 das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder ai − 1 und ai + 1' falsch ist.

Man kann die definition von geomerischen Mittel nachschauen.

Allerdings kann man folgende Weise das korrigieren, nur wenn a0 gleich 1 ist, dann............usw.

Grüße Manish Aatreya aatreya@stud.uni-frankfurt.de (nicht signierter Beitrag von 141.2.169.208 (Diskussion | Beiträge) 18:31, 12. Jun. 2009 (CEST))

Der Satz stimmt schon so. --Zwinker 14:09, 8. Sep. 2009 (CEST)

zum Abschnitt "Konvergenz geometrischer Folgen"

Der Beweis der Behauptung (unter Verwendung des natürlichen Logarithmus) ist nun doch einigermaßen kurz, so dass ich ihn nicht im Beweisarchiv anlegte. Da der Betrag einer komplexen Zahl reell ist, sollten die Umformungen auch für komplexe q gelten; der Logarithmus einer komplexen Zahl ist nirgendwo benutzt.

--Psychironiker (Diskussion) 16:13, 24. Nov. 2017 (CET)

Huch... als ich das abschickte, fiel mir auf, dass nur die Hälfte der behaupteten Äquivalenz nachgewiesen war. Der Rest ist hiermit nachgeliefert.

--Psychironiker (Diskussion) 19:39, 24. Nov. 2017 (CET)

Namensherkunft

Der Artikel enthält kaum Belege. Die angegebenen Quellen sind sehr dürftig. Die Aussage, dass die geometrische Reihe ihren Namen vom geometrischen Mittel hat, erscheint mir sehr gewagt und müsste jedenfalls belegt werden.--Sigma^2 (Diskussion) 18:17, 17. Sep. 2022 (CEST)

Definition

Es fehlt eine klare Definition einer geometrischen Folge. Das Berichten über Eigenschaften und darüber was sein darf und was nicht sein darf (alles unbelegt) ersetzt keine Definition, z.B.: eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ heißt geometrische Folge, falls $x_{1}\neq 0$ und falls es eine reelle Zahl $c$ gibt, so dass $x_{n+1}=cx_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt. Die Formel

$1+c+c^{2}+\dots ={\frac {1}{1-c}}\quad {\text{für }}|c|<1$

findet sich sehr häufig, ohne dass der Fall $c=0$ ausgeschlossen wird. Die zugehörige Folge der Summanden ist eine geometrische Folge, wohl auch für $c=0$.--Sigma^2 (Diskussion) 06:09, 19. Sep. 2022 (CEST)

Ich befürchte, es gibt keineeinheitliche Definition einer geometrischen Folge in der Mathematik. Bei der Encyclopedia of Mathematics wird $c\neq 0$ gefordert (https://encyclopediaofmath.org/wiki/Geometric_progression) und ebenso bei der englischsprachigen Wikipedia. Bei Wolfram Math World gibt es keine Einschränkung (https://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html). Analysis-Bücher, die naturgemäß einen klaren Fokus auf Grenzwerte haben, scheinen sich vor allem für die spezielle geometrische Folge $(x^{n})$ zu interessieren und nehmen für $x$ keine Einschränkungen vor (warum auch?). Eher anwendungsorientierte Bücher (ich habe welche aus dem wirtschaftswissenschaftlichen Bereich) sind eher an den Folgengliedern interessiert und definieren eine geometrische Folge oft als eine Folge, für die ${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ konstant ist, was $c\neq 0$ und $a_{1}\neq 0$ stillschweigend voraussetzt.

Bei der von Dir vorgeschlagenen Definition wäre $1,0,0,0,\ldots$ eine geometrische Folge, die Folge $0,0,0,0,\ldots$ jedoch nicht. Was qualifiziert die erste Folge, den Namen "geometrisch" zu tragen, was die zweite nicht hat?

Vielleicht kann man ja genetisch hergehen und erstmal eine geometrische Folge über die Bedingung ${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\equiv c$ definieren mit den dazugehörigen Einschränkungen. Daraus folgt dann $a_{n+1}=c\cdot a_{n}$, was man wiederum zur Definition erheben kann, die dann auch den Fall $c=0$ und sogar $a_{1}=0$ zulässt. --Mathze (Diskussion) 20:37, 9. Mai 2024 (CEST)

Abschnitt "Konvergenz geometrischer Reihen"

Meine Vorschläge zu diesem Abschnitt:

• Anstatt dem Leser direkt einen Satz im Stile eines Lehrbuchs vorzusetzen, wäre es schön, wenn erstmal die Intuition hinter dem Ergebnis genannt wird. Man kann ja ganz intuitiv q als "Vergrößerungsfaktor" oder "Verkleinerungsfaktor" auffassen, je nachdem der Betrag von q ist. Dann hat man zumindest schon mal, dass die Folge monoton wachsend oder fallend ist, und um zu veranschaulichen, dass sie für |q|<1 gegen null geht, kann man ja ein paar Beispielfolgen ins Feld führen.
• Als nächstes wäre mal zu klären, ob es überhaupt angebracht ist, hier einen formalen Beweis zu zeigen, oder ob man nicht einfach die Beweisidee skizziert und für die Details z. B. auf Wikiproofs verweist (oder den Beweis ganz weglässt).
• Wenn hier ein schon ein Beweis steht, dann doch wenigstens ein elementarer. Den Logarithmus hervorzukramen scheint mir wie mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Das müsste doch mit weit weniger elaborierten Methoden gehen (Bernoulli-Ungleichung sollte hier ausreichen). Ich werde übrigens auch nicht müde zu betonen, dass die Gefahr einer Petitio Principii steigt, je elaborierter die Begriffe und Konzepte werden, die zum Beweis herangezogen werden. Allein deshalb sind aus meiner Sicht voraussetzungsarme Beweise vorzuziehen.

Wie immer freue ich mich über konstruktive Kritik und Anregungen. --Mathze (Diskussion) 13:44, 12. Mai 2024 (CEST)

Erledigt --Mathze (Diskussion) 22:12, 6. Nov. 2024 (CET)